Bem, isso é muito simples e semelhante a Solicitar seu arquivo do Twitter. Clique no pequeno ícone da sua conta (canto superior direito) e selecione o item de menu "Configurações e privacidade". Em seguida, clique no item de menu chamado "Seus dados do Twitter". É possível que agora você precise adicionar a senha da sua conta. Se isso for feito, role até o final da página e clique em "Recuperar dados". O botão ficará inativo.
Agora você precisa aguardar - geralmente alguns minutos - o e-mail de confirmação do Twitter. Siga o botão de download. De volta à página do Twitter, agora você pode fazer o download do arquivo ZIP de dados.
Em alguns casos - geralmente se você tiver um grupo de 200 mil tweets ou mais - pode demorar um pouco até que você receba o e-mail do Twitter contendo o link para download. Como o Twitter mencionou: Por favor, seja paciente.